\((G, *)\) est dit groupe si :
\(G\) possède un élément neutre \(1_G\) pour l’opération \(*\), c’est-à-dire que pour tout \(x \in G\), on a \(1_G * x = x * 1_G = x\).
Pour tout \(x,y,z \in G\), on a \((x * y) * z = x * (y * z)\) (associativité).
\(G\) est stable par passage à la matrice, c’est-à-dire que pour tout \(x \in G\), il existe un élément \(x^{-1} \in G\) tel que \(x * x^{-1} = x^{-1} * x = 1_G\).
Exemples triviaux : \((\Z,+), (\Q,+), (\R,+), (\C,+), (\R^*,\times), (\C^*,\times)\).
\((\R^I,+)\) et \((\C^I,+)\) sont des groupes pour tout intervalle \(I \subset \R\).
\((\GL_n(\R),\cdot)\) et \((\GL_n(\C),\cdot)\) sont des groupes pour tout \(n \in \N^*\).
\((\R^\N, +)\) et \((\C^\N, +)\) sont des groupes.
\((S_n, \circ)\) est un groupe pour tout \(n \in \N^*\).
Élaborons encore plus le dernier exemple sur les permutations. Considérons le cas particulier de \(S_3\). \[S_3 = \{ \text{id}, (1\ 2), (1\ 3), (2\ 3), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2) \}\] L’inverse de la transposition \((1\ 2)\) est elle-même, en effet : \[(1\ 2) \circ (1\ 2) = \text{id}\] On remarque qu’il en est de même pour les autres transpositions. Pour les cycles, on a : \[(1\ 2\ 3) \circ (1\ 3\ 2) = \text{id}\]
Avec la notation multiplicative :
Pour \((G,\cdot)\) un groupe et \(n \in \N^*\), on a : \(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ fois}}\) et \(a^{-n} = (a^{-1})^n\).
Par convention, \(a^0 = 1_G\).
\(\forall a,b \in G, (ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}\).
\(\forall n,m \in \Z, a^{n+m} = a^n a^m\).
Avec la notation additive :
Pour \((G,+)\) un groupe et \(n \in \N^*\), on a : \(n a = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{n \text{ fois}}\) et \(-n a = (-a) + (-a) + \cdots + (-a)\).
\(\forall n,m \in \Z, n a + m a = (n+m) a\).
\(\forall n,m \in \Z, n (m a) = (nm) a = m (n a)\).
Les égalités \((ab)^n = a^n b^n\) et \(n(a+b) = n a + n b\) ne sont pas valables en général, mais uniquement si les lois sont commutatives (groupes abéliens).
Soit \((G, *)\) un groupe et \(H \subset G\). On dit que \(H\) est un sous-groupe de \(G\) si :
\(H\) est non vide.
\(H\) est stable par l’opération \(*\), c’est-à-dire que pour tout \(x,y \in H\), on a \(x * y \in H\).
\(H\) est stable par passage à l’inverse, c’est-à-dire que pour tout \(x \in H\), on a \(x^{-1} \in H\).
Généralement, on utilise la notion de sous-groupe pour montrer qu’un ensemble est un groupe, ce qui est plus simple que de vérifier les trois axiomes de la définition d’un groupe. On utilise aussi souvent la proposition ci-dessous.
Soit \((G, *)\) un groupe et \(H \subset G\) tel que \(H \neq \emptyset\).
\(H\) est un sous-groupe de \(G\) \(\iff\) pour tout \(x,y \in H\), on a \(x * y^{-1} \in H\).
\(\R\) est un sous-groupe de \((\C,+)\).
\(\R^*\) est un sous-groupe de \((\C^*,\times)\).
Posons \(\Uset = \{ z \in \C^*, |z| = 1 \}\). \(\Uset\) est un sous-groupe de \((\C^*,\times)\).
Soit \((G,*)\) un groupe. Soit \(H\) et \(K\) deux sous-groupes de \(G\).
\(H \cap K\) est un sous-groupe de \(G\).
\(H \cup K\) est un sous-groupe de \(G\) \(\iff\) \(H \subset K\) ou \(K \subset H\).
Montrons que \(H \cap K\) est un sous-groupe de \(G\). Soient \(x,y \in H \cap K\). On a bien \(x * y^{-1} \in H\) et \(x * y^{-1} \in K\) comme \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes de \(G\). Donc \(x * y^{-1} \in H \cap K\). Ainsi, \(H \cap K\) est un sous-groupe de \(G\).
Montrons que \(H \cup K\) est un sous-groupe de \(G\) \(\iff\) \(H \subset K\) ou \(K \subset H\). Dans le sens indirect (\(\impliedby\)), la démonstration est triviale.
Dans le sens direct (\(\implies\)), on suppose par absurde que \(H \not\subset K\) et \(K \not\subset H\). Alors il existe \(x \in H\) tel que \(x \notin K\) et il existe \(y \in K\) tel que \(y \notin H\). Par contre, on a toujours \(x,y \in H \cup K\), donc \(x * y \in H \cup K\), ce qui veut dire que \(xy \in H\) ou \(xy \in K\).
Si \(xy \in H\), alors \(y = x^{-1} * (xy) \in H\), ce qui est une contradiction. Si \(xy \in K\), alors \(x = (xy) * y^{-1} \in K\), ce qui est encore une contradiction. Ainsi, on a bien montré que \(H \cup K\) est un sous-groupe de \(G\) \(\iff\) \(H \subset K\) ou \(K \subset H\).
Soit \(I\) un ensemble dénombrable (éventuellement infini) et soit \((H)_{i \in I}\) une famille de sous-groupes d’un groupe \((G,*)\). Alors \(\bigcap_{i \in I} H_i\) est un sous-groupe de \(G\).
L’ordre d’un groupe \(G\), noté \(|G|\), est le cardinal de l’ensemble \(G\).
Soit \((G,*)\) un groupe fini et soit \(H\) un sous-groupe de \(G\). Alors \(|H|\) divise \(|G|\).
En posant \(|G| = n\) et \(|H| = m\), on a \(m \mid n\) et donc \(n = m \cdot k\) pour un certain entier \(k \in \N^*\).
Soit \((G,\cdot)\) un groupe.
\(G\) est dit monogène s’il existe un élément \(g \in G\) tel que \(G = \{ g^n, n \in \Z \}\). On note alors \(G = \langle g \rangle\) et on dit que \(g\) est un générateur de \(G\) (en notation additive, on écrit \(G = \langle g \rangle = \{ n g, n \in \Z \}\)).
\(G\) est un groupe cyclique si \(G\) est monogène et fini.
\(\Z = \langle 1 \rangle = \langle -1 \rangle\) est un groupe monogène.
\(\Uset_n = \langle e^{2 i \pi / n} \rangle\) est un groupe cyclique.
\(\Z/n\Z = \langle \bar 1 \rangle\) est un groupe cyclique.
On appelle le groupe monogène \(\langle g \rangle\) le groupe engendré par le singleton \(g\).
Il s’agit du plus petit groupe contenant \(g\).
Dans \((\Z/6\Z)\), on a :
\(\langle \bar 1 \rangle = \{ \bar 1, \bar 2, \bar 3, \bar 4, \bar 5, \bar 0 \} = \Z/6\Z\).
\(\langle \bar 2 \rangle = \{ \bar 2, \bar 4, \bar 0 \}\).
\(\langle \bar 3 \rangle = \{ \bar 3, \bar 0 \}\).
\(\langle \bar 4 \rangle = \{ \bar 4, \bar 2, \bar 0 \}\).
\(\langle \bar 5 \rangle = \{ \bar 5, \bar 4, \bar 3, \bar 2, \bar 1, \bar 0 \} = \Z/6\Z\).
Soit \((G,*)\) un groupe et \(g \in G\). L’ordre de \(g\), noté \(\ord(g)\) est défini par \(\ord(g) = |\langle g \rangle|\).
L’ordre de l’élément est 1 si et seulement si c’est l’élément neutre : \(\ord(x) = 1 \iff x = 1_G\).
\(\ord(x) = |\langle x \rangle| = |\langle x^{-1} \rangle| = \ord(x^{-1})\). En effet, \(\langle x \rangle = \{ x^n, n \in \Z \} = \{ (x^{-1})^{-n}, n \in \Z \} = \langle x^{-1} \rangle\).
Dans \((\Z/6\Z)\), on a :
\(\ord(\bar 0) = 1\).
\(\ord(\bar 1) = 6\).
\(\ord(\bar 2) = 3\).
\(\ord(\bar 3) = 2\).
\(\ord(\bar 4) = 3\).
\(\ord(\bar 5) = 6\).
L’ordre d’une transposition est 2 et l’ordre d’un cycle de longueur \(k\) est \(k\) (à démontrer en tant qu’exercice).
Soit \((G,*)\) et \((H,\cdot)\) deux groupes. Une application \(\varphi: G \to H\) est un morphisme de groupes si pour tous \(x, y \in G\), on a \(\varphi(x * y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y)\).
L’application \(\mathrm{exp} : (\R,+) \to (\R^*,\times)\) définie par \(\mathrm{exp}(x) = e^x\) est un morphisme de groupes.
La signature \(\eps : (S_n, \circ) \to (\{ -1, 1 \}, \times)\) est un morphisme de groupes.
Soit \(\varphi: G \to H\) un morphisme de groupes. Alors :
\(\varphi\) est injectif \(\iff\) \(\ker(\varphi) = \varphi^-1(\{1_H\})= \{ 1_G \}\).
\(\varphi\) est surjectif \(\iff\) \(\Imf(\varphi) = H\).
\(\varphi\) est un isomorphisme \(\iff\) \(\varphi\) est bijectif.
Soit \(\varphi : G \to H\) un isomorphisme. Alors \(\forall x \in G, \ord(x) = \ord(\varphi(x))\).
On a \(\langle \varphi(x) \rangle = \{ \varphi(x)^n, n \in \Z \} = \{ \varphi(x^n), n \in \Z \} = \varphi(\langle x \rangle)\). Comme \(\varphi\) est bijective, on a \(|\langle x \rangle| = |\langle \varphi(x) \rangle|\), donc \(\ord(x) = |\langle x \rangle| = |\langle \varphi(x) \rangle| = \ord(\varphi(x))\).
Soit \(g \in G\), \(\varphi_g : \Z \to G\) définie par \(k \mapsto g^k\) est un morphisme de groupes.
Le noyau \(\ker(\varphi_g) = \{ k \in \Z, g^k = 1_G \}\) est un sous-groupe de \((\Z,+)\), donc \(\ker(\varphi_g) = n \Z\) pour un certain \(n \in \N\). L’image \(\Imf(\varphi_g) = \varphi_g(\Z) = \langle g \rangle\) est un sous-groupe de \(G\).
Soit \((G,\cdot)\) un groupe et \(g \in G\).
Alors \(\ord(g) = +\infty \iff \varphi_g\) est injectif et \(\ord(g) = n \in \N^* \iff \ker(\varphi_g) = n \Z\).
Comme \(\ker(\varphi_g)\) est un sous-groupe de \((\Z,+)\), il existe un unique \(n_0 \in \N\) tel que \(\ker(\varphi_g) = n_0 \Z\).
Si \(n_0 = 0\), alors \(\ker(\varphi_g) = \{0\}\), ce qui équivaut à l’injectivité de \(\varphi_g\). L’application étant injective, les puissances \((g^k)_{k \in \Z}\) sont deux à deux distinctes, donc \(|\langle g \rangle| = +\infty\), c’est-à-dire \(\ord(g) = +\infty\).
Si \(n_0 \in \N^*\), la division euclidienne par \(n_0\) montre que \(\langle g \rangle = \{g^0, g^1, \dots, g^{n_0-1}\}\) avec des éléments deux à deux distincts, donc \(|\langle g \rangle| = n_0\). Par unicité du générateur positif d’un sous-groupe de \(\Z\), on a pour tout \(n \in \N^*\) : \[\ord(g) = n \iff n_0 = n \iff \ker(\varphi_g) = n\Z.\]
Pour récapituler, pour un ordre infini, on a : \[\begin{align*} \ord(g) = +\infty &\iff \varphi_g \text{ est injectif} \\ &\iff \ker(\varphi_g) = \{ 0 \} \\ &\iff \forall k \in \Z^*, g^k \neq 1_G &\iff \langle g \rangle \text{ est infini} \\ \end{align*}\] ... et pour un ordre fini, on a : \[\begin{align*} \ord(g) = n \in \N^* &\iff \ker(\varphi_g) = n \Z \\ &\iff \varphi_g \text{ est non-injectif} \\ &\iff \forall k \in \Z, g^k = 1_G \iff n \mid k \\ &\iff n = \min(\{ k \in \N^*, g^k = 1_G \}) \\ \end{align*}\]
Si, pour un élément \(x \in G\), l’ordre de \(x\) est fini \(\ord(x) < +\infty\), alors \(\ker(\varphi_x) = \ord(x) \Z\) et \(\forall k \in \Z, x^k = 1_G \iff \ord(x) \mid k\).
Posons \(\varphi_x : \Z \to \langle x \rangle\) définie par \(k \mapsto x^k\).
Déterminer l’ordre de \((\bar 1, \hat 1)\) dans \((\Z/n\Z, \Z/m\Z, +)\).
Pour \((G,\cdot)\) un groupe et \(x \in G\), les propriétés suivantes sont équivalentes :
\(x\) est d’ordre \(n\)
\(n = \min(k \in \N^*, x^k = 1_G)\) ou \(n = \min(k \in \N^*, kx = 0_G)\)
\(\boxed{\forall k \in Z, x^k = 1 \implies n \mid k}\) ou \(\boxed{\forall k \in Z, kx = 0 \implies n \mid k}\)
Il est recommandé de bien assimiler la preuve du théorème de Lagrange et la démonstration du corollaire [cor:ordre].
Soit \(a,b \in G\) d’ordres finis \(n,m\) respectivement avec \(G\) un groupe abélien.
Montrer que \(ab\) est aussi d’ordre fini divisant le ppcm de \(n\) et \(m\).
Montrer que \(\ord(a^k) = \frac{n}{\pgcd(n,k)}\) pour tout \(k \in \Z^*\).
Si \(\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{ 1_G \}\), montrer que \(\ord(ab) = \ppcm(n,m)\).
On a \((ab)^{\ppcm(n,m)} = a^{\ppcm(n,m)} b^{\ppcm(n,m)} = 1_G 1_G = 1_G\) sachant que \(n\vee m = kn = k'm\) avec \(k,k' \in \Z\) et que \(G\) est un groupe abélien donc \(a\) et \(b\) commutent. Donc \(\ord(ab) \mid \ppcm(n,m)\).
Nous allons démontrer que \(\forall p \in \Z, (a^k)^p = 1_G \implies \frac{n}{n\wedge k} \mid p\). \[\begin{align*} a^{kp} = 1_G &\implies \ord(a) \mid kp \\ &\implies n \mid kp \\ d = n \wedge k &\implies n = \alpha d \et k = \beta d \avec \alpha \wedge \beta = 1 \\ &\implies \alpha \xcancel d \mid \beta \xcancel d p \\ &\implies \alpha \mid \beta p \\ &\implies \alpha \mid p \text{ d'après le théorème de Gauss} \et \scq \alpha\wedge\beta = 1 \\ &\implies \frac{n}{d} \mid p \\ \end{align*}\]
recop
recop
Ce qui vient d’être abordé n’est valable que dans un groupe abélien !
En général, \(\ord(ab) \ne \ord(a) \vee \ord(b)\) et \(\ord(ab) \ne \ord(a) \ord(b)\). Par exemple, pour un \(x \in G\) avec \((G,\cdot)\) un groupe, on a \(\ord(x) = n\) et \(\ord(x^{-1}) = n\), mais \(\ord(xx^{-1}) = \ord(1_G) = 1 \ne n \vee n = n\) et \(\ord(xx^{-1}) = \ord(1_G) = 1 \ne n \cdot n = n^2\).
Les générateurs d’un groupe cyclique sont les éléments dont l’ordre est exactement égal à l’ordre du groupe.
L’ordre des éléments d’un groupe sont les diviseurs de l’ordre du groupe (s’il est fini). En effet, si \(G\) est un groupe d’ordre \(n\) et \(g \in G\) tel que \(g^n = 1\), alors \(\ord(g) \mid n\) d’après le théorème de Lagrange.
Soit \(G = \langle x \rangle = \{1,x,x^2,\ldots,x^{n-1}\}\). Les générateurs de \(G\) sont les éléments \(x^k\) tels que \(k \in \llbracket 1,n\rrbracket\) et \(\pgcd(k,n) = 1\). On peut aussi prendre \(k \in \N^*\) et effectuer des divisions euclidiennes pour ramener \(k\) dans l’intervalle \(\llbracket 1,n\rrbracket\) (ce n’est pas une condition nécessaire).
Soit \((G,\cdot)\) un groupe cyclique et \(H\) un sous-groupe de \(G\). Montrer que \(H\) est cyclique.
Indice: étudier \(\{k \in \Z, a^k \in H\}\)
On remarque que \(\{k \in \Z, a^k \in H\}\) est un sous-groupe de \((\Z,+)\), donc il est de la forme \(n\Z\) pour \(n=\min(\N^* \cap A)\). Il faut maintenant montrer que \(H\) est cyclique. On sait que \(H\) est généré par \(a^n\). Par définition de \(n\), \(a^n \in H\), et donc \(\langle a^n \rangle \subset H\).
Réciproquement, soit \(x \in H\) quelconque. \(H\) est un sous-groupe de \(G\), donc \(x \in G\). recop <3